[ 4 3 6 3 ] = [ l 11 0 l 21 l 22 ] [ u 11 u 12 0 u 22 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}4&3\\6&3\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}&0\\l_{21}&l_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}\\0&u_{22}\\\end{bmatrix}}.}

Một cách đơn giản để tìm phân tích LU của ma trận là giải hệ phương trình tuyến tính của các phép nhân ma trận tương ứng. Biết rằng:

l 11 ⋅ u 11 + 0 ⋅ 0 = 4 {\displaystyle l_{11}\cdot u_{11}+0\cdot 0=4} l 11 ⋅ u 12 + 0 ⋅ u 22 = 3 {\displaystyle l_{11}\cdot u_{12}+0\cdot u_{22}=3} l 21 ⋅ u 11 + l 22 ⋅ 0 = 6 {\displaystyle l_{21}\cdot u_{11}+l_{22}\cdot 0=6} l 21 ⋅ u 12 + l 22 ⋅ u 22 = 3. {\displaystyle l_{21}\cdot u_{12}+l_{22}\cdot u_{22}=3.}

Hệ này có vô số nghiệm. Trong trường hợp đó bất kì hai phần tử khác 0 nào của L và U đều có thể được xem là tham số, và có thể chọn bất kì giá trị khác 0 nào. Do đó để tìm phân tích LU duy nhất, ta cần thêm một số giới hạn cho L và U. Chẳng hạn ta có thể yêu cầu ma trận tam giác dưới L là ma trận đơn vị (nghĩa là các phần tử đường chéo chính của nó đều bằng 1). Khi đó hệ trở thành:

l 21 = 1.5 {\displaystyle l_{21}=1.5} u 11 = 4 {\displaystyle u_{11}=4} u 12 = 3 {\displaystyle u_{12}=3} u 22 = − 1.5. {\displaystyle u_{22}=-1.5.}

Thay các giá trị này vào ma trận, ta được:

[ 4 3 6 3 ] = [ 1 0 1.5 1 ] [ 4 3 0 − 1.5 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}4&3\\6&3\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\1.5&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&3\\0&-1.5\\\end{bmatrix}}.}